2010年11月7日・数検１級（一次試験のみ）

前回２次試験に受かったので、今回からは、残った１次試験のみになります。 

「一気に同時に受かるほうがかっこいい」などという美学は持ち合わせてないもので。 
受かればそれで良しです。 

今回ははっきりいって、ほとんど準備してませんでした。 
なので前日に、急いで、某質問掲示板の数学ジャンルで、例の女子高生（朝比奈みくるさんじゃないよ）の回答をあたかもストーカーのごとく見ていきました。 
フーリエ解析やベクトル解析のところは飛ばし、微分方程式や行列式系をざ〜っと。 
8月に回答がやたらと多かったです。夏休み、いいですね〜（笑） 


行きはいつものごとくバスを使ったのですが、夢の島あたりで思いがけず渋滞に巻き込まれました。 
ってか、渋滞になるって知ってればバスは使わなかったんだがな。 
「交通の都合で遅れたら特別に時間ずらしてくれないかな、電車じゃないから無理か」などと思いつつ。今後はバスを使う場合はもっと余裕を持つことにしよう、などと思いつつ。 

後ろの子供が「１２時３５分」などと時刻をしゃべっていたので、「まだ大丈夫だな」などと心が落ち着いたりもしました。結局渋滞で３０分くらい止まってました。 

ギリギリで間に合ったのですが、次のバスだったら完全にアウトだったな。 
何だか、既にスリル溢れるエキサイティングな展開で、緊張などすっかり飛んでしまいました。 


テレビ局が来ているらしく、試験の様子などを取材するよという話が試験監督からありました。 


ということで、試験開始。 


<< 一次試験 >>（全問必須） 

問題１：整数問題 
問題２：因数分解 
問題３：級数の収束条件 
問題４：行列の固有値の計算問題 
問題５：期待値と分散 
問題６：定積分（広義積分） 
問題７：微分方程式（一階） 

ざっと見て、いちばんハマる可能性の低そうな問題７から手をつけました。 

問題７：微分方程式 
y'-4y=sin2x 
斉次解は一目でわかります（といいつつ、本番ではプラスマイナスの間違いが妙に不安になる）。 
問題は特解。公式を使うか、定数変化で行くかちょっと迷ったのですが、 
安直にa sin2x+b cos2yとおいてa,bを求めるのが一番早そうなので、そうしました。 

y=Ce^(4x)-(1/5)sin 2x - (1/10) cos 2x （Cは積分定数） 


次に問題６に手をつけようとしましたが、すぐ出来なさそうなので後回し。 

問題５：期待値と分散 

A、Bのさいころの目に様々な数字が書かれていて、それを振った時の目の合計の期待値と分散を求めます。 

期待値は、それぞれ足して6になったので、1+1で2。 
分散……どうするんだっけ。とりあえず1引いた数値を書きならべ、二乗して、全部足して６で割ってみると、131/3。 
分散は普通に足せば良かった……はず、標準偏差はこれのルートだから、…約7？　まあもっともらしいだろうか？ 
あまり時間を使うわけにもいかないので、次へ進みます。 


問題４：行列の固有値の計算問題 

今回は３×３行列。0が２箇所にあるので、普通に斜め成分の掛け算のやり方でλの方程式にします。 
λ^3＋λ＋24＝0 

求めるのはλの和なので、解と係数の関係から……、0……？ 

過去、0と書いた回答はことごとく外れているので不安がよぎります。 
でも仕方ない。 
後半は二乗の和。λの係数は解と係数でもプラスのはずだから　-2。あってるかな？ 


問題１：整数問題 

331=x^3-y^3を満たす正整数x,y。 

331を素因数分解。→　13でも17でも割り切れないので、素数。 
ってことは、右辺を因数分解したものが1と331になるはず。 
ってことで、後は単純な計算により、x=11,y=10。 

……ほんとに？　あまりにもあっさり出てしまったので思わず疑ってしまいました。 
１級の第一問だったらもっと…。これでは２級か、下手したら準２級レベルでは？ 



問題２：因数分解 

x^6-14x^4+17x^2-4を、係数が整数の範囲で因数分解。 

「整数」という条件がついた時点で安堵感があります。 
さしあたり1が通りそうですが、x^2=Xとおいてからやってみました。 
(X-1)(X^2-13X+4)=0 

そして、この後ろの部分(x^4-13x^2+4)が、まだ因数分解出来ることは疑う余地もありません。 
ってことで 
(x+1)(x-1)(x^2+3x-2)(x^2-3x-2) 

後ろの部分、もしかしたらまだ出来るのでは？と思ってしまうのはやむを得ないところですね。 
目の錯覚なのですが。 

それにしても、この問題２も２級前後のレベルに見えます。 



問題３：級数の収束条件 

(3^n/n^(1/3))x^n 
の無限和（n:1→∞）が収束するような実数xの範囲。 

んなの覚えてるはずもないですが、まあ隣の項同士の比が1より小さければいいかな？なんて。 
-1/3



戻る




トップページ